محاسبه منیفلدهای پایا و ناپایای یک بعدی و مدارهای هتروکلینیک و هموکلینیک نگاشت های n-بعدی

بسیاری از سیستمهای دینامیکی به وجود آمده در کاربردها را میتوان با استفاده از نگاشتها توصیف کرد. برای مثال، سیستمهای لیزری مدارهای الکترونیکی، فرایندهای بیولوژی و غیره. در اغلب کاربردها نگاشتها به طور واضح تعریف می شوند مانند نگاشتهای ikeda ،henon و برخی دیگر به شکل یک نگاشت پوآنکاره ظاهر می شوند. هدف اصلی از بررسی یک سیستم دینامیکی مفروض پیدا کردن رفتارکلی و جامع آن است. برای این کار ما ابتدا باید خمهای پایای ویژه را پیدا کنیم که برای سیستمهای دو بعدی گسسته- زمان شامل نقاط ثابت زینی جاذب به همراه منیفلدهای پایدار و ناپایدار این نقاط هستند. به ویژه منیفلدها اطلاعات بسیاری در ارتباط با سیستم به ما میدهند. البته منیفلدها را نمیتوان به طور تحلیلی به دست آورد و باید به طور عددی محاسبه شوند. تا کنون روشهای بسیاری برای محاسبه منیفلدهای یک نقطه ثابت زینی گسترش یافته است. در این مطالعه تنها منیفلدهای یک بعدی را در نظر میگیریم. بیشتر الگوریتمها منیفلد را با استفاده از یک تقریب موضعی نزدیک یک نقطه زینی و با شروع از آن محاسبه میکنند. روش متداول عبارت است از تکرار دامنه اولیه (دامنه اساسی) که شامل تکرار یک بخش موضعی از منیفلد است و تا ساختن تکههای پیوسته منیفلد ادامه مییابد. روش دیگر که روش مورد استفاده در این مطالعه است، شامل رشد منیفلد نقطه به نقطه تا یک طول قوس مشخص داده شده است. درهمه روشها منیفلد پایدار به صورت منیفلد ناپایدار نگاشت وارون محاسبه میشود. با توجه به این که به جزء در موارد ایدهآل به دست آوردن نگاشت معکوس دقیق و یکتا غیر ممکن است در این پایان نامه برای محاسبه منیفلدهای پایدار و ناپایدار از الگوریتم جستجوی دایره sc که به نگاشت معکوس نیاز ندارد استفاده میکنیم. پس از محاسبه منیلفلدهای پایدار و ناپایدار نقاط ثابت، با استفاده از الگوریتمی نقاط اشتراک آنها را پیدا کرده و با استفاده از آنها و الگوریتم cis مدارهای هموکلینیک و هتروکلینیک مربوطه را با استفاده از روشهای عددی و با تغییر یک پارامتر محاسبه میکنیم. محاسبه دقیق مدارهای همبند نقاط ثابت یکنگاشت و مطالعه ویژگیهای توپولوژیکی آنها به صورت یک مسئله بسیار مهم در نظریه سیستمهای دینامیکی غیرخطی و مسائل کاربردی شناخته میشوند. برای مثال، مدار هموکلینیک که یک نقطه ثابت هذلولی را به خودش وصل میکند، وجود یک تعداد نامتناهی مدارهای متناوب را نتیجه میدهد، بیشتر به به صورتی که در منابع اشاره شده است حضور یک جفت از چنین مدارهای هموکلینیک با یک دنباله نامتناهی از انشعابهای period?doubling و fold همراه است. بنابراین، با توجه به این که یک مدار هموکلینیک یک نگاشت مسطح به اشتراک منیفلدهای پایدار و ناپایدار یک نقطه ثابت زینی متعلق است، چنین مداری باعث تخریب یک منحنی بسته پایا میشود. روشهای عددی برای تحلیل انشعاب نگاشت در سالهای اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته است. مکان یابی، تحلیل و امتداد نقاط ثابت و انشعابها در محیطهای content و cl ?matcontm فراهم شده است. الگوریتمهای محاسبه منیفلدهای یک- بعدی در محیط dy namics و dstool قابل اجرا است، در حالیکه امتداد مدارها و خمهای مماسی آنها در یک auto ? driver اجرا میشوند. این پایاننامه شامل چهار فصل است. در فصل اول تعاریف و خواص مقدمات سیستمهای دینامیکی ارائه میشود. در فصل دوم منیفلدها راتعریف کرده و الگوریتم sc را برای محاسبه منیفلدها شرح میدهیم و در انتها با استفاده از این الگوریتم منیفلدهای سه نگاشت را رسم میکنیم. در فصل سوم مدارها را تعریف کرده و الگوریتم cis را شرح میدهیم و در فصل چهارم به چند مثال پرداخته و با استفاده از این الگوریتم منیفلدها و مدارهای مرتبط به آن را رسم میکنیم.